Mathematik-Online-Lexikon: Beispiel: Isotropie und Winkeltreue

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	Beispiel: Isotropie und Winkeltreue

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Als Beispiel werden die Gerade

$\displaystyle C_1:\quad$	$\displaystyle z_1(t)=-2\mathrm{i}+t(1+\mathrm{i}),\quad t\in\mathbb{R}\,,$
und der Kreis
$\displaystyle C_2:\quad$	$\displaystyle z_2(t)=\frac{2}{t+\mathrm{i}},\quad t\in\mathbb{R}\,,$

sowie die Abbildung

$\displaystyle f(z)=z^2,\quad f'(z)=2z$

betrachtet.

$\includegraphics[width=.8\linewidth]{Konform_Bild1}$

Für

schneiden sich

und

im Punkt $z_0=1-\mathrm{i}$ , wobei

$\displaystyle z_1'(1)$	$\displaystyle = 1+\mathrm{i} = \sqrt{2} e^{\mathrm{i}\pi/4}$
und
$\displaystyle z_2'(1)$	$\displaystyle = \left.-\frac{2}{(t+\mathrm{i})^2}\,\right\vert _{t=1} = \mathrm{i} =e^{\mathrm{i}\pi/2}$

ist, d.h. die Kurven schneiden sich in einem Winkel von $\pi/4$ .

Die Bilder und schneiden sich für im Punkt $z_0^2=(1-\mathrm{i})^2=-2\mathrm{i}$ , wobei

$\displaystyle f'(1-\mathrm{i})z_1'(1) = 2(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i}) = 4$
und
$\displaystyle f'(1-\mathrm{i})z_2'(1) = 2(1-\mathrm{i})\mathrm{i} = 2(\mathrm{i}+1) = 2\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\pi/4}$

ist, d.h. auch die Bildkurven schneiden sich in einem Winkel von $\pi/4$ . Der Streckungsfaktor beträgt

$\displaystyle \vert f'(1-\mathrm{i})\vert=2\sqrt{2}\,.$

automatisch erstellt am 21. 11. 2013