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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Transzendente Integranden

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Als Beispiel wird das Integral

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{1+x^2}\,dx =\operatorname{Re} \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{e^{\mathrm{i}x}}{1+x^2}\,dx $

betrachtet. Der Integrand hat zwei einfache Polstellen bei $ a_1=\mathrm{i}$ und $ a_2=-\mathrm{i}$, wobei nur die Polstelle $ a_1$ in der oberen Halbebene liegt. Für das Residuum bei $ a_1=\mathrm{i}$ erhält man

$\displaystyle \underset{z=\mathrm{i}}{\operatorname{Res}}\,\frac{e^{\mathrm{i}z... ..._{z\to\mathrm{i}} \frac{e^{\mathrm{i}z}}{\mathrm{i}+z} =\frac{1}{2\mathrm{i}e} $

und damit

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{1+x^2}\,dx=\operatorname{Re} \frac{2\pi\mathrm{i}}{2\mathrm{i}e} = \frac{\pi}{e}\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013