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Beispiel: Möbius-Transformation

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Die Möbius-Transformation, die $ 1$ auf 0, 0 auf $ 1$ und $ \mathrm{i}$ auf $ \infty$ abbildet, erhält man über das Doppelverhältnis

$\displaystyle \frac{w-1}{w-\infty}\,:\,\frac{0-1}{0-\infty} = \frac{z-0}{z-\mathrm{i}}\,:\,\frac{1-0}{1-\mathrm{i}}\,. $

Dies entspricht

$\displaystyle (w-1)\,\underbrace{\frac{\infty}{w-\infty}}_{=\frac{\infty}{-\infty}=-1} = \frac{z-0}{z-\mathrm{i}}\,(1-\mathrm{i})\,, $

und damit ist

$\displaystyle w=1-\frac{(1-\mathrm{i})z}{z-\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{i}z-\mathrm{i}}{z-\mathrm{i}}\,. $

Eine andere Möglichkeit ist, die Punkte einzeln in die Funktionsgleichung einzusetzen und das entstehende unterbestimmte Gleichungssystem für $ a,b,c,d$ zu lösen:

\begin{displaymath} \begin{array}{rcccccl} f(1)&=&\displaystyle \frac{a+b}{c+d}&... ...{c\text{i}-a} &=&\infty &\Rightarrow &c=-\text{i}a \end{array}\end{displaymath}

Mit $ a=\mathrm{i}$ ergibt sich die oben angegebene Form für $ f$.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 15. 11. 2013