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Mathematik-Online-Lexikon:

Ungleichung für Binomialkoeffizienten


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Zeige für natürliche Zahlen $ \mbox{$k,n$}$ mit $ \mbox{$1\leq k\leq n$}$

$ \mbox{$\displaystyle
\frac{n^k}{k!}\left(1-\frac{k(k-1)}{n}\right) \; \leq \; {n\choose k} \; \leq \; \frac{n^k}{k!}\ .
$}$

Lösung.

Es wird

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
{n\choose k}
&=& \frac{n(n-1)\cdots(...
...q& \frac{n\cdot n\cdots n}{k!}\vspace{2mm}\\
&=& \frac{n^k}{k!}
\end{array}$}$
und
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
{n\choose k}
&=& \frac{n(n-1)\cdots(n...
...ce{2mm}\\
&\geq& \frac{n^k}{k!}\left(1-\frac{k(k-1)}{n}\right),
\end{array}$}$

wobei im letzten Schritt die Bernoullische Ungleichung verwendet wurde; man beachte dabei $ \mbox{$-\frac{k-1}{n}\geq -1$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 25.  1. 2006