Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon:

Eine Ungleichung


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Zeige mit der geometrisch-arithmetischen Ungleichung, daß für $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$

$ \mbox{$\displaystyle
n^n\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\right)^{\!-n}\; \leq \;n!\; \leq \; \left(\frac{n+1}{2}\right)^{\!n}\ .
$}$

Lösung.

Aus der geometrisch-arithmetischen Ungleichung mit $ \mbox{$x_i:=\frac{1}{i}$}$ folgt

$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\left(\frac{1}{1\cdot 2\cdots n}\righ...
... \; n! & \geq & n^n\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\right)^{\!-n}\ .
\end{array}$}$

Aus der geometrisch-arithmetischen Ungleichung mit $ \mbox{$x_i:=i$}$ folgt

$ \mbox{$\displaystyle
n! \; \leq \; \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i\right)^{\!...
...dot\frac{n(n+1)}{2}\right)^{\!n} \; = \; \left(\frac{n+1}{2}\right)^{\!n}\ .
$}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 25.  1. 2006