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Mathematik-Online-Lexikon:

Rationale Funktionsgrenzwerte


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  1. Bestimme $ \mbox{$\lim_{x\to\infty} \frac{2x^2+x+5}{3x^2+2x+1}$}$.
  2. Bestimme $ \mbox{$\lim_{x\to 2} \left(\frac{1}{2-x}-\frac{12}{8-x^3}\right)$}$.

Lösung.

  1. Es wird unter Verwendung der Grenzwertregeln
    $ \mbox{$\displaystyle
\lim_{x\to\infty} \frac{2x^2+x+5}{3x^2+2x+1}\;
=\; \li...
...ac{2+1/x+5/x^2}{3+2/x+1/x^2}\;
=\; \frac{2+0+0}{3+0+0}\;
=\; \frac{2}{3}\; .
$}$

  2. Zunächst vereinfachen wir die Funktion.
    $ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\frac{1}{2-x}-\frac{12}{8-x^3}\;
&=&\...
...{(2-x)(x^2+2x+4)}\vspace{2mm}\\
&=&\; -\frac{x+4}{x^2+2x+4}\; .
\end{array}$}$

    Also folgt aus den Grenzwertregeln

    $ \mbox{$\displaystyle
\lim_{x\to 2}\left(\frac{1}{2-x}-\frac{12}{8-x^3}\right...
...-\frac{x+4}{x^2+2x+4}\right)\;
=\; -\frac{2+4}{4+4+4}\;
=\; -\frac{1}{2}\; .
$}$

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006