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Mathematik-Online-Lexikon:

Rationale Funktionsgrenzwerte

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  1. Bestimme $ \mbox{$\lim_{x\to\infty} \frac{2x^2+x+5}{3x^2+2x+1}$}$.
  2. Bestimme $ \mbox{$\lim_{x\to 2} \left(\frac{1}{2-x}-\frac{12}{8-x^3}\right)$}$.

Lösung.

  1. Es wird unter Verwendung der Grenzwertregeln
    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to\infty} \frac{2x^2+x+5}{3x^2+2x+1}\; =\; \li... ...ac{2+1/x+5/x^2}{3+2/x+1/x^2}\; =\; \frac{2+0+0}{3+0+0}\; =\; \frac{2}{3}\; . $}$

  2. Zunächst vereinfachen wir die Funktion.
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{1}{2-x}-\frac{12}{8-x^3}\; &=&\... ...{(2-x)(x^2+2x+4)}\vspace{2mm}\\ &=&\; -\frac{x+4}{x^2+2x+4}\; . \end{array}$}$

    Also folgt aus den Grenzwertregeln

    $ \mbox{$\displaystyle \lim_{x\to 2}\left(\frac{1}{2-x}-\frac{12}{8-x^3}\right... ...-\frac{x+4}{x^2+2x+4}\right)\; =\; -\frac{2+4}{4+4+4}\; =\; -\frac{1}{2}\; . $}$

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006