Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

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	Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

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Für positive relle Zahlen $a_1,\dots,a_n$ ist das arithmetische nicht kleiner als das geometrische Mittel:

$\displaystyle \frac{a_1 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot \ldots \cdot a_n} \,.$

Allgemeiner gilt für positive Gewichte $\lambda_i$ mit $\sum_{i=1}^n\lambda_i = 1$

$\displaystyle \lambda_1 a_1 +\cdots+\lambda_n a_n \geq a_1^{\lambda_1}\cdots a_n^{\lambda_n} \,.$

Die Gleichheit gilt genau dann wenn $a_1=\cdots=a_n$ .

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automatisch erstellt am 19. 8. 2013