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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Fourier-Basis aus Exponentialfunktionen

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Die Exponentialfunktionen $ e_k(x) = e^{\mathrm{i}kx}$ sind im Raum der $ 2\pi$-periodischen quadratintegrierbaren Funktionen orthonormal:

$\displaystyle \langle e_j,e_k \rangle_{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi e_j(x)\overline{e_k(x)}\,dx = \delta_{j,k} $

für $ j,k\in\mathbb{Z}$.
Für $ j=k$ erhält man

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi e^{\mathrm{i}jx}\overline{e... ...}jx}e^{-\mathrm{i}jx} \,dx = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi \,dx = 1\,, $

und für $ j\neq k$ gilt

$\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^\pi e^{\mathrm{i}jx}\overline{e... ... \left[ \frac{e^{\mathrm{i}(j-k)x}}{\mathrm{i}(j-k)}\right]_{-\pi}^\pi =0\,. $

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  automatisch erstellt am 7. 11. 2013