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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Konvergenzrate der Fourier-Projektion

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Für den Fehler der Fourier-Projektion gilt für periodische Funktionen mit quadratintegrierbarer $ k$-ter Ableitung

$\displaystyle \Vert f - p_n f\Vert _{2\pi} \le (n+1)^{-k} \Vert f^{(k)}\Vert _{2\pi} \,, $

wobei die Ungleichung für $ f(x) = e^{\mathrm{i}(n+1)x}$ scharf ist.
Mit der Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x)\sim \sum_{j\in\mathbb{Z}} c_j e^{\mathrm{i}jx} $

erhält man für die Fourier-Reihe der $ k$-ten Ableitung

$\displaystyle f^{(k)}(x) \sim \sum_{j\in\mathbb{Z}} c_j (\mathrm{i}j)^k e^{\mathrm{i}jx} $

und mit der Parseval-Identität

$\displaystyle \left\Vert f^{(k)}\right\Vert _{2\pi}^2 = \sum_{j\in\mathbb{Z}} \vert c_j\vert^2\vert j\vert^{2k}\,. $

Somit folgt

$\displaystyle \Vert f - p_n f\Vert _{2\pi}^2=\sum_{\vert j\vert>n} \vert c_j\ve... ...vert^{2k}}{(n+1)^{2k}} = (n+1)^{-2k}\left\Vert f^{(k)}\right\Vert _{2\pi}^2\,. $

Im Spezialfall $ g(x) = e^{\mathrm{i}(n+1)x}$ sind alle Fourier-Koeffizienten $ c_j=0$ mit Ausnahme von $ c_{n+1}=1$, d.h. in obiger Abschätzung gilt sogar die Gleichheit

$\displaystyle \Vert g - p_n g\Vert _{2\pi}^2=\vert c_{n+1}\vert^2 = (n+1)^{-2k}\left\Vert g^{(k)}\right\Vert _{2\pi}^2\,. $

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  automatisch erstellt am 8. 11. 2013