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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Maximumprinzip für komplexe Funktionen

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Für eine in einem Gebiet $ D$ analytische, nicht konstante Funktion $ f$ besitzt $ \vert f\vert$ kein Maximum in $ D$. Ist $ f$ auf $ \overline{D} = D\cup C$ stetig, wobei $ C=\partial D$ der Rand von D ist, so gilt deshalb

$\displaystyle \max_{z\in D} \vert f(z)\vert \le \max_{z\in C} \vert f(z)\vert \,, $

d.h. das Maximum des Betrages wird auf dem Rand angenommen.
Man zeigt zunächst, dass $ f$ auf jedem Kreis $ C\subset D$ um ein Maximum $ z$ von $ \vert f\vert$ konstant gleich $ f(z)$ ist. Dabei kann man nach Multiplikation mit einer Konstanten $ e^{\mathrm{i}\varphi}$ o. B. d. A. annehmen, dass $ f(z)$ reell und positiv ist (im Fall $ \vert f(z)\vert=0$ ist die Behauptung trivial).

Nimmt man an, dass $ f(w)\ne f(z)$ für ein $ w=z+re^{\mathrm{i}t}\in C$, so folgt aus

$\displaystyle \operatorname{Re} f(w) < f(z)=\operatorname{Re} f(z) $

und der Mittelwerteigenschaft für den Realteil von $ f$ der Widerspruch

$\displaystyle f(z) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_0^{2\pi} \operatorname{Re} f(z+r e^{\mathrm{i}t})\,dt < f(z) \,. $

Damit ist insbesondere gezeigt, dass $ f$ in einer Umgebung eines Maximums von $ \vert f\vert$ konstant ist. Die Menge der $ w\in D$ mit $ f(w)=f(z)$ ist also offen. Da sie ebenfalls abgeschlossen ist, muss $ f$ auf ganz $ D$ konstant sein.

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  automatisch erstellt am 21. 11. 2013