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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu

Matrixdarstellung einer Komposition linearer Abbildungen

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Es seien $ V$,$ W$ und $ Z$ Vektorräume mit Basen $ {\color{darkblue} E}$, $ {\color{darkorange} F}$ bzw, $ {\color{darkgreen} G }$. Dann ist die Matrixdarstellung der Komposition $ \beta \circ \alpha$ bezüglich der Basen $ {\color{darkblue} E},{\color{darkgreen} G }$ gegeben als Matrixprodukt $ \vphantom{(\beta\circ\alpha)}_{\color{darkgreen} G}(\beta \circ \alpha)_{\colo... ...e} F} \cdot \vphantom{\alpha}_{\color{darkorange} F}\alpha_{\color{darkblue} E}$.
Es sei $ A= \vphantom{\alpha}_{\color{darkorange} F}\alpha_{\color{darkblue} E} = (a_{{\color{darkorange} k}{\color{darkblue} l}})$ und $ B=\vphantom{\beta}_{\color{darkgreen} G}\beta_{\color{darkorange} F} = (b_{{\color{darkgreen} j }{\color{darkorange} k}})$. Für $ {\color{darkblue} e_l}$ in $ {\color{darkblue} E}$ rechnen wir

$\displaystyle \beta(\alpha({\color{darkblue} e_l})) = \beta \left( \sum\limits_... ...} a_{{\color{darkorange} k}{\color{darkblue} l}}{\color{darkorange} f_k}\right)$ $\displaystyle = \sum\limits_{{\color{darkorange} k}=1}^{\dim W} a_{{\color{dark... ...dim Z} b_{{\color{darkgreen} j}{\color{darkorange} k}} {\color{darkgreen} g_j }$    
$\displaystyle = \sum\limits_{{\color{darkgreen} j}=1}^{\dim Z} \left(\sum\limit... ...}b_{{\color{darkblue} j}{\color{darkorange} k}}\right) {\color{darkgreen} g_j }$ $\displaystyle = \sum\limits_{{\color{darkgreen} j}=1}^{\dim Z} {\color{lightora... ...\left. \vphantom{\sum\limits_{k=1}^{\dim W}} \right)} {\color{darkgreen} g_j }.$    

Damit ist der $ ({\color{darkgreen} j}, {\color{darkblue} l})$-Koeffizient $ {\color{lightorange} c_{{\color{darkgreen} j {\color{darkblue} l}}}}$ der Matrix $ \vphantom{(\beta\circ\alpha)}_{\color{darkgreen} G}(\beta \circ \alpha)_{\color{darkblue} E}$ bestimmt. Da $ \sum\limits_{{\color{darkorange} k}=1}^{\dim W} b_{{\color{darkgreen} j }{\color{darkorange} k}} a_{{\color{darkorange} k}{\color{darkblue} l}}$ auch der $ ({\color{darkorange} j}, {\color{darkblue} l})$-Koeffizient der Produktmatrix $ B \cdot A = \vphantom{\beta}_{\color{darkgreen} G}\beta_{\color{darkorange} F} \cdot \vphantom{\alpha}_{\color{darkorange} F}\alpha_{\color{darkblue} E}$ ist, folgt $ \vphantom{(\beta\circ\alpha)}_{\color{darkgreen} G}(\beta \circ \alpha)_{\colo... ...e} F} \cdot \vphantom{\alpha}_{\color{darkorange} F}\alpha_{\color{darkblue} E}$. $ \square$

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  automatisch erstellt am 15.  8. 2006