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Mathematik-Online-Lexikon: Erläuterung zu | |
Satz von Sylow; Sylowgruppen |
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Die Untergruppen dieser Ordnung nennt man Sylowgruppen von . Mit bezeichnet man die Menge der Sylowgruppen von .
Verschiedene Sylowgruppen sind also zueinander konjugiert. Somit sind die Sylowgruppen bis auf einen inneren Automorphismus eindeutig bestimmt.
Ist eine Untergruppe von , d.h. eine Untergruppe mit , dann existiert eine Sylowgruppe von mit .
Bemerkungen:
Behauptung 1: Ist eine abelsche Gruppe mit und teilt , dann existiert ein Element mit .
Beweis von Behauptung 1: Die Behauptung ist richtig, wenn zyklisch ist, denn für
und gilt und
. Somit ist ein Element der Ordnung .
Sei nun und ein minimales Gegenbeispiel. Wegen der Minimalität von besitzt dann jede echte Untergruppe von Ordnung (d.h.
). Sei . Wegen
folgt
oder
. Also gilt
und hat ein Element der Ordnung , wobei das Bild von unter der Faktorabbildung
. Sei
, dann ist
eine zyklische Gruppe der Ordnung und wegen
folgt, dass die Ordnung von teilt. Wiederum wegen der Minimalität von folgt dann, dass ein Element der Ordnung besitzt, und damit auch . Also gibt es kein minimales Gebenbeispiel.
Behauptung 2: Sei ein kleinstes Gegenbeispiel zu Teil a) des Sylowsatzes, dann gilt .
Beweis von Behauptung 2: Man kann als nicht-abelsch annehmen. Des Weiteren gilt , da der Satz für wahr ist. Für die Operation von auf sich selbst durch Konjugation gilt die Klassengleichung
Angenommen es existiert ein Index mit (für ). Nach dem Bahnenlemma gilt
Behauptung 3: Sei ein surjektiver Homomorphismus. Ist , dann ist . Ist endlich, dann gilt .
Beweis von Behauptung 3: Sind , dann ist . Damit ist und nach dem Untergruppenkriterium ist .
Man beachte, dass ist, denn und , da surjektiv. Nach dem Homomorphisatz ist und damit
Beweisabschluss von Teil a): Sei ein kleinster Verbrecher. Nach Behauptung 2 gilt und . Nach Behauptung 1 existiert ein Element mit . Damit folgt, dass zyklisch ist und , da zentral. Man beachte, dass gilt, da keine Gruppe ist. Betrachte nun die Abbildung
Angenommen es ist
, dann ist
, im Widerspruch zu
. Also existiert ein
mit
für alle und es ist
. Weiter ist
. Betrachte nun
. Dann ist
eine Untergruppe von
, da
. Nach dem Isomorphisatz folgt
und damit
.
Führt man den Beweis mit und , dann ergibt sich die Konjugiertheit von verschiedenen Sylowgruppen (insbesondere ist ).
automatisch erstellt am 17. 10. 2006 |