Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Satz von Sylow; Sylowgruppen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Sei $ G$ eine endliche Gruppe, $ p$ eine Primzahl und $ \alpha \in \mathbb{N}_0$ mit $ \vert G\vert=p^\alpha \cdot n$, wobei $ \textrm{ggT}(p,n)=1$.
(a)
Existenz von Sylowgruppen
$ G$ besitzt mindestens eine Untergruppe der Ordnung $ p^\alpha$.

Die Untergruppen dieser Ordnung nennt man $ p-$Sylowgruppen von $ G$. Mit $ Syl_p(G)$ bezeichnet man die Menge der $ p-$Sylowgruppen von $ G$.

(b)
Eindeutigkeit von Sylowgruppen
Seien $ U,V \in Syl_p(G)$. Dann gibt es ein $ g \in G$ mit $ U^g=V$.

Verschiedene $ p-$Sylowgruppen sind also zueinander konjugiert. Somit sind die $ p-$Sylowgruppen bis auf einen inneren Automorphismus eindeutig bestimmt.

Ist $ W$ eine $ p-$Untergruppe von $ G$, d.h. eine Untergruppe mit $ \vert W\vert=p^b$, dann existiert eine $ p-$Sylowgruppe $ S$ von $ G$ mit $ W \leq S$.

(c)
Anzahl von Sylowgruppen
$ \vert Syl_p(G)\vert \equiv 1 \mod p$ und $ \vert Syl_p(G)\vert=\vert G:N_G(U)\vert$ für $ U \in Syl_p(G)\vert$.


Bemerkungen:

(Autoren: Höfert/Kimmerle)

Erläuterung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 17. 10. 2006