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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 489: Körper in Magnet- und Schwerkraftfeld

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In Höhe $ h>0$ befindet sich ein magnetischer Körper der Masse $ m$. Auf diesen wirkt zum einen die konstante Schwerkraft $ G= m\, g$, wobei die Erdbeschleunigung den Wert $ g = 10$ hat. Zum anderen wird er von einem in Höhe $ h=0$ befindlichen Magneten mit einer Kraft $ F_M(h)$ abgestoßen, die proportional zu $ 1/h^2$ ist. In Höhe $ h=1$ befindet sich der Körper im Kräftegleichgewicht, dort verschwindet also die auf ihn wirkende resultierende Kraft.

a)
Welche resultierende Kraft $ F = F(h)$ wirkt auf den Körper in Höhe $ h$? Hinweis: Nach oben wirkende Kräfte sind positiv, nach unten wirkende Kräfte negativ anzusetzen.

b)
Bezeichne $ t$ die Zeit, dann beschreibt die Funktion $ h(t)$ die Bewegung des Körpers unter dem Einfluss der Kraft $ F$. Geben Sie für diese Funktion eine Differenzialgleichung der Form $ h'' = f(h)$ an.

c)
Führen Sie die Differenzialgleichung aus Teil b) in eine Differenzialgleichung erster Ordnung für $ h(t)$ über. Hinweis: Diese Gleichung enthält eine unbekannte Konstante $ c$, die erst im nächsten Aufgabenteil bestimmt werden kann.

d)
Der Körper wird zum Zeitpunkt $ t=0$ aus der Höhe $ h_0=5$ fallen gelassen. Mit welcher Geschwindigkeit passiert er die Stelle $ h_1=1$ und an welcher Stelle $ h_2$ erreicht er seinen tiefsten Punkt? Hinweis: Zur Lösung der Aufgabe muss die Funktion $ h(t)$ nicht explizit bestimmt werden!

Lösung:

a)
$ F(h) = $ $ m + $ $ m/h^2$.

b)
$ h'' = $ $ + $ $ / h^2$.

c)
Eine Differentialgleichung erster Ordnung für $ h(t)$ lautet

$ \frac{1}{2}\Bigl(h'(t)\Bigr)^a + b/h(t) + c\,h(t) =$   const

mit den Parametern $ a=$, $ b=$ , $ c=$.

d)
Die Geschwindigkeit im Punkt $ h_1$ beträgt $ h^\prime_1 = $ .

Die tiefste Stelle liegt bei $ h_2 = $ .


   
(Reif, Prüfungsaufgabe, Frühjahr 2003)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017