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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 565: Partielle Differentialgleichung, Separationsansatz


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

a)
Berechnen Sie alle zweimal stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen $ v = v(x)$ und $ w = w(t) ,$ so dass

$\displaystyle u(x,t) = v(x) \cdot w(t) $

eine nichttriviale Lösung der partiellen Differentialgleichung

$\displaystyle u_{xx} - u_{tt} + u_x = 0 $

ist (es genügt die Angabe von $ v$ und $ w$).
b)
Bestimmen Sie alle Lösungen $ u(x,t)$ von Teilaufgabe a), die für alle $ x$ die Bedingungen

$\displaystyle u(x,0) = 0 ,\quad u(x, \pi) = 0 $

erfüllen.

Lösung:

a)
Welche Gleichung liefert der Separationsansatz?
keine Angabe
$ \dfrac{v_{xx}}{v}+\dfrac{v_x}{v}=\dfrac{w_{tt}}{w}+k$
$ \dfrac{v_{xx}}{v}+\dfrac{v_x}{v}=\dfrac{w_{t}}{w}+k$
$ \dfrac{v_{xx}}{v}+\dfrac{v_x}{v}=\dfrac{w_{tt}}{w}=k$
$ \dfrac{v_{xx}}{v}+\dfrac{v_x}{v}=\dfrac{w_{t}}{w}=k$

Für $ v$ hat das charakteristische Polynom folgende Nullstellen.

$ \lambda_{1,2}=\dfrac12\Big($$ \pm\big($$ +$ $ k\big)^{\frac12}\Big)$

Man erhält folgende Lösungen

  keine Angabe $ k<-\frac14$ $ k=-\frac14$ $ k>-\frac14$
hline $ v(x)=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$
$ v(x)=c_1e^{\lambda_1x}+c_2xe^{\lambda_2x}$
$ v(x)=c_1e^{\operatorname{Re}(\lambda_1)x}\sin(\operatorname{Im}(\lambda_1)x)+c_2xe^{\operatorname{Re}(\lambda_1)x}\cos(\operatorname{Im}(\lambda_1)x)$

Man erhält folgende Lösungen

  keine Angabe $ k<0$ $ k=0$ $ k>0$
$ w(x)=d_1e^{\sqrt{\vert k\vert}t}+d_2e^{-\sqrt{\vert k\vert}t}$
$ w(x)=d_1\sin(\sqrt{\vert k\vert}t)+d_2\cos(\sqrt{\vert k\vert}t)$
$ w(x)=d_1+d_2t$

b)

$ w(0)=$        $ w(\pi)=$

$ k<0:$ Es existieren nichttriviale Lösungen für

keine Angabe
$ k=-m^2,\ m\in\mathbb{N}$
$ k=-m,\ m\in\mathbb{N}$
$ k^2=m,\ m\in\mathbb{N}$
$ k=-2m,\ m\in\mathbb{N}$
nur triviale Lösungen

$ k=0:$        $ d_1=$        $ d_2=$

$ k>0:$        $ d_1=$        $ d_2=$

Welche Werte nimmt $ k$ an?

keine Angabe
$ k<-\frac14$
$ k=-\frac14$
$ -\frac14<k<0$
$ k=0$
$ k>0$


   

(Aus: Prüfung HM III Kimmerle F04)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017