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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 654: Lineares homogenes System von drei Differentialgleichungen erster Ordnung


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Bestimmen Sie für das Differentialgleichungssystem

$\displaystyle u'=Au\, ,\qquad A=
\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0
\end{array}\right)
$

a)
die Eigenwerte und Eigenvektoren von $ A$,
b)
die allgemeine Lösung $ u(t)=\big(u_{1}(t),u_{2}(t),u_{3}(t)\big)^{\operatorname{t}}$,
c)
die Lösung mit $ u(0)=(1,0,0)^{\operatorname{t}}$.


Antwort: (auf vier Dezimalstellen runden)


a)
Geben Sie die aufsteigend sortierten Eigenwerte $ \lambda_i$ und die zugehörigen Eigenvektoren $ v_i$ an:

$ \lambda_1={}$ ,         $ v_1=\Big(\,$$ \,,\,$ $ \,,\,1\,\Big)^{\operatorname{t}}$

$ \lambda_2={}$ ,         $ v_2=\Big(\,$$ \,,\,$ $ \,,\,1\,\Big)^{\operatorname{t}}$

$ \lambda_3={}$ ,         $ v_3=\Big(\,$$ \,,\,$ $ \,,\,1\,\Big)^{\operatorname{t}}$

b)
Die allgemeine Lösung besitzt die Form: keine Angabe ,      $ \displaystyle{u(t)=\sum_{k=1}^{3}c_{k}\mathrm{e}^{\lambda_{k}t}}$ ,      $ \displaystyle{u(t)=\sum_{k=1}^{3}c_{k}v_{k}\mathrm{e}^{\lambda_{k}t}}$ ,      $ \displaystyle{u(t)=\sum_{k=1}^{3}c_{k}t^{k}v_{k}\mathrm{e}^{\lambda_{k}t}}$

c)
Geben Sie die Koeffizienten der zugehörigen Lösung an:

$ c_1={}$,      $ c_2={}$,      $ c_3={}$


   

(Autor: Klaus Höllig)

Lösung:


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  automatisch erstellt am 10.  8. 2017