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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 74: Jordan-Normalform und Matrixpotenzen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die reelle Matrix

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right). $

a) Bestimmen Sie die Jordansche Normalform $ J$ von $ A$ . Beginnen Sie oben mit dem kleinsten Eigenwert:

$ J= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 0
0 0
0 0
0 0 0
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Ergänzen Sie folgende Matrix $ T$ so, daß $ T^{-1}AT=J$ gilt:

$ T= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
0 0
$ 3$ $ 3$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

b) Berechnen Sie die Inverse der Transformationsmatrix $ T$ :

$ T^{-1}= \frac{1}{54} \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .

Berechnen Sie (mit Hilfe der Darstellung $ A=TJT^{-1}$ ) die folgende Matrix:

$ \big(\frac{1}{3}\big)^{999}A^{1001}= \left(\rule{0pt}{10ex}\right.$
$ \left.\rule{0pt}{10ex}\right)$ .


   

(Autor: Martin Hertweck)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017