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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Interaktive Aufgabe 892: Homogenes lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung, Jordan-Normalform


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Bestimmen Sie für die Matrix

$\displaystyle A=
\left(\begin{array}{rrr}
5 & -3 & 0 \\
6 & -4 & 0 \\
8 & -7 & 2
\end{array}\right).$

die Jordan-Normalform $ J$ von $ A$ sowie eine Transformationsmatrix $ Q$ , so dass $ Q^{-1}AQ=J$ gilt.

Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des Differentialgleichungssystem $ u'=Au$, sowie alle Anfangswerte $ u(0)$ für die

$\displaystyle \lim\limits_{t\to \infty} u(t)= (0,0,0)^\mathrm{t}
$

gilt.

Lösung:

Eigenwerte:         $ \lambda_{1/2}=$         $ \lambda_3=$

Eigenvektoren:

zu $ \lambda_{1/2}$:

$ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
zu $ \lambda_3$:

$ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 2$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$
Hauptvektor:
$ \left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
0
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

Allgemeine reelle Lösung:

$ u=c_1e^{\lambda_{1/2}t}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 1$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)+
c_2e^{\lambda_{1/2}t}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ t+1$
$ t+$
$ t$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)+
c_3e^{\lambda_3t}\left(\rule{0pt}{8ex}\right.$
$ 2$
$ \left.\rule{0pt}{8ex}\right)$

Ein Anfangswert mit $ \lim\limits_{t\to \infty} u(t) = (0,0,0)^\mathrma{t}$ ist $ u(0)=
(7\,,\quad$,    $ )$.


   

(Autor: K.Höllig)

[Verweise]

  automatisch erstellt am 10.  8. 2017