Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösungshinweis zu: Aufgabe 1057:

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	Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösungshinweis zu
	Aufgabe 1057:

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Bestimmen Sie die Nullstellenmenge und die Vorzeichenverteilung der Funktion

$\displaystyle f(x,y)=xy(y-\alpha)(-4+4x^2+y^2)$

in Abhängigkeit von $\alpha\in\mathbb{R}$ . Wieviele Extrema treten für unterschiedliche $\alpha$ mindestens auf und in welchen Bereichen kommt welcher Typ vor?

Zerlegen Sie die Funktion in Faktoren.
Bestimmen Sie die Nullstellenmengen der Teilfunktionen. Eine der entstehenden Gleichungen kann zur Normalform einer Quadrik umgeformt werden.
Fertigen sie jeweils Zeichnungen der qualitativ unterschiedlichen Konstellationen für unterschiedliche $\alpha$ an.
In jedem der entstehenden Gebiete hat die Funktion ein eindeutiges Vorzeichen. Dieses kann aus den Vorzeichen der Faktoren von ermittelt werden.
In kompakten Gebieten nimmt die Funktion sowohl ein Minimum als auch ein Maximum an.
Die genaue Lage und die Funktionswerte an den Extremstellen sind nicht gefragt.

(Autor: Marco Boßle)

[Aufgabe]

automatisch erstellt am 11. 6. 2008