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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 877: Youngsche Ungleichung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Seien $ \mbox{$p,\,q\,\in\,\mathbb{R}_{> 0}$}$ mit $ \mbox{$p + q = 1$}$ gegeben. Man zeige, daß für $ \mbox{$x,y \in\mathbb{R}_{> 0}$}$

$ \mbox{$\displaystyle x^p \cdot y^q \; \leq \; px + qy $}$
ist.

Setzen wir $ \mbox{$z := y/x$}$, so ist zu zeigen, daß

$ \mbox{$\displaystyle f(z) \; :=\; p + qz - z^q \; \geq \; 0 $}$
für $ \mbox{$z > 0$}$. Mit
$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} f'(z) & = & q - q z^{q-1} \\ f''(z) & = & -q(q-1) z^{q-2} \\ \end{array}$}$
finden wir eine globale Minimalstelle bei $ \mbox{$z = 1$}$. Der Minimalwert beträgt $ \mbox{$f(1) = 0$}$, so daß in der Tat $ \mbox{$f(z)\geq 0$}$ für $ \mbox{$z > 0$}$ gilt.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
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  automatisch erstellt am 7.  6. 2005