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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1152: Erkennen einer linearen Abbildung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Es seien $ \alpha_{jk}\in\mathbb{R}$ und $ e_j$ Basisvektoren der Standardbasis $ E$ von $ \mathbb{R}^m$.

Zeigen oder widerlegen Sie:

  1. Die Abbildung $ f\colon\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m\colon (x_1,\ldots,x_n)\mapsto \sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^n \alpha_{jk}\, x_k\, e_j$ ist linear.
  2. Die Abbildung $ f\colon\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m\colon (x_1,\ldots,x_n)\mapsto \sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^n \alpha_{jk}^2\, x_k\, e_j$ ist linear.
  3. Die Abbildung $ f\colon\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m\colon (x_1,\ldots,x_n)\mapsto \sum_{j=1}^{m}\sum_{k=1}^n \alpha_{jk}\, x_k^2\, e_j$ ist linear.

  1. Diese Abbildung wird beschrieben durch die Matrix $ A=(a_{jk})$, also $ f(\vec{x})=A\vec{x}$. Jede durch Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor beschriebene lineare Abbildung ist linear.
  2. Diese Abbildung wird durch die Matrix $ B=(a^2_{jk})$ beschrieben und ist daher ebenfalls linear.
  3. Diese Abbildung ist nicht linear, denn

    $\displaystyle f(2,0,\dots,0)=\sum_{j=1}^m a_{j1}4e_j.$    

    Wäre die Abbildung linear, so müsste $ 2f(1,0,\dots,0)$ dasselbe geben, aber es ist

    $\displaystyle 2f(1,0,\dots,0)=2\sum_{j=1}^m a_{j1}e_j$    

    Allerdings gibt es einen Fall, bei dem das doch gilt, nämlich wenn $ a_{jk}=0$ für alle $ j$ und $ k$. In diesem Spezialfall ist die Abbildung $ f$ die Nullabbildung und die ist linear.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 29. 12. 2005