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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1153: Determinantenberechnung, Matrixpotenzen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben ist $ x\in\mathbb{R}$ und die Matrix

$\displaystyle \left(\begin{matrix} t & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 0 & 0 ... ...0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 9 &10 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &11 &12 \end{matrix}\right) $

Berechnen Sie $ \operatorname{det}(A_t)$, $ \operatorname{det}({A_t}^{5})$, $ \operatorname{det}(xA_t)$ und für die $ t\in\mathbb{R}$, bei denen die Ausdrücke auch definiert sind, $ \operatorname{det}(A_t^{-1}), \operatorname{det}\left((A_t^{-1})^{5}\right)$.

Es ist $ \det(A_t)=8(2t-3)$. Unter Ausnutzung der Rechenregeln für Determinanten erhalten wir:

$\displaystyle \det(A_t^5)=(\det(A_t))^5=8^5(2t-3)^5\qquad \det(xA_t)=x^6\det(A_t)=x^68(2t-3)$    
$\displaystyle \det(A_t^{-1})=(\det(A_t))^{-1}=\frac{1}{8(2t-3)}\qquad \det((A_t^{-1})^{5})=\det(A_t)^{-5}=\frac{1}{8^5(2t-3)^5}$    

Die letzten beiden Ausdrücke sind nur für $ t\neq\frac{3}{2}$ definiert.

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 29. 12. 2005