Es sei
gegeben, und es seien
,
,
die Nullstellen des Polynoms
.
Außerdem sei
.
- Bestimmen Sie Vektoren , , derart, dass
für
gilt und dass
eine Basis ist.
- Geben Sie die Matrixdarstellung
an.
- Berechnen Sie
.
Hinweis: Die
Matrix
hilft dabei.
- Da
ist, müssen wir zwei lineare
Gleichungssysteme lösen, nämlich und . Diese haben die
folgenden Lösungsmengen:
bzw. |
|
Als Basis nehmen wir
Wir müssen noch zeigen, dass dies tatsächlich eine Basis ist. Da wir die
Dimension des Vektorraums kennen (nämlich 3) reicht es zu zeigen, dass die
drei Vektoren linear unabhängig sind. Eine Möglichkeit ist es, den Rang der
Matrix aus den drei Vektoren zu berechnen. Dieser ist tatsächlich 3, also
bilden die Vektoren eine Basis.
- Wir haben
, wobei die Standardbasis von
bezeichnet. Dann
ist
- Hier nutzen wir aus, dass
ist. Wir setzen das in die Summenformel
ein und erhalten:
Die innere Summe können wir nun relativ leicht berechnen und erhalten:
Das ergibt als Endergebnis
(Ackermann/Poppitz)
|
automatisch erstellt
am 29. 12. 2005 |