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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1195:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Es seien die Vektoren $ v=(-7,16,-1)$, $ u=(1,2,1)$ und $ w=(3,-4,1)$ in $ \mathbb{R}^3$ gegeben.

Zeigen Sie $ v\in\operatorname{Span}(u,w)$, indem Sie Vektoren $ u'\in \operatorname{Span}(u)$ und $ w'\in\operatorname{Span}(w)$ so bestimmen, dass $ v=u'+w'$ gilt.

Bestimmen Sie einen Vektor $ w''\in\operatorname{Span}(u,w)$, der orthogonal zu $ u$ ist, d.h. $ \langle u,w''\rangle=0$, und der normiert ist, d.h. $ \langle w'',w''\rangle=1$ erfüllt.

Wir wissen, dass $ \operatorname{Span}(v)=\big{\{} \alpha\, v \big\vert \alpha\in\mathbb{R}\big{\}}$, also besteht $ \operatorname{Span}(v)$ aus den skalaren Vielfachen von $ v$. Also lautet die Aufgabe, $ u'=\alpha\, u$ und $ w'=\beta\, w$ zu finden, so dass $ v=u'+w'$. Dies führt auf folgende Gleichung:

$\displaystyle \begin{pmatrix}-7\\ 16\\ -1\end{pmatrix}=\alpha \begin{pmatrix}1 \\ 2\\ 1\end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix}3 \\ -4\\ 1\end{pmatrix}$    

Als Lösung erhalten wir $ \alpha=2$ und $ \beta=-3$.

Das zweite Problem führt auf komplizierte Gleichungen, weil das Skalarprodukt darin mitspielt. Wir setzen an $ \hat{w}=\alpha\, u+\beta\, w$ und berechnen zunächst einen Vektor $ \hat{w}$, der senkrecht auf $ u$ steht:

$\displaystyle \langle\alpha\, u+\beta\, w,u\rangle =0 \iff \alpha \langle u,u\r... ...\frac{\alpha}{\beta}=-\frac{\langle w,u\rangle}{\langle u,u\rangle}=\frac{4}{6}$    

Für $ \alpha=2$ und $ \beta=3$ gilt also $ \hat{w}=2(1,2,1)+3(3,-4,1)=(11,-8,5)$. Dieser Vektor muss nun nur noch normiert werden, also durch seine Länge $ \sqrt{11^2+(-8)^2+5^2}=\sqrt{210}$ geteilt werden. Wir erhalten:

$\displaystyle w''=\frac{\hat{w}}{\vert\hat{w}\vert} =\frac{1}{\sqrt{210}}\begin{pmatrix}11\\ -8\\ 5\end{pmatrix} \,.$    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 19.  1. 2006