Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1199: Bestimmen der Fixpunktmenge einer affinen Abbildung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben ist die Matrix

$\displaystyle A=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix}\right) $

sowie der Vektor $ s=(2,2,-2)$. Damit wird die affine Abbildung $ \sigma\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\colon v\mapsto Av+s$ definiert.

  1. Bestimmen Sie die Fixpunktmenge $ \mathrm{Fix}(\sigma)=\Big{\{}v \in \mathbb{R}^3 \Big\vert \sigma(v)=v\Big{\}}$.

    Zeigen Sie: $ \mathrm{Fix}(\sigma)$ ist eine affine Ebene.

  2. Stellen Sie für den Punkt $ P=(p_1,p_2,p_3)$ eine Gerade $ f$ auf, die die Punkte $ P$ und $ \sigma(P)$ enthält.

    Verifizieren Sie, dass die Gerade $ f$ die Ebene $ \mathrm{Fix}(\sigma)$ orthogonal durchstößt.

  1. Die Gleichung $ \sigma(v)=v$ können wir durch $ \left(A-E_3\right)v=-s$ ausdrücken. Also müssen wir das folgende linear Gleichungssystem lösen:

    $\displaystyle \frac13\begin{pmatrix}-2 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \e... ...trix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$    

    Dieses hat die Lösungsmenge

    $\displaystyle \Big{\{}\begin{pmatrix}3 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + \lambda \begin{... ...egin{pmatrix}0\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\Big\vert \lambda,\mu\in\mathbb{R}\Big{\}}$    

    Die Lösungsmenge ist eine Ebene, dargestellt in Parameterform. Die Sprechweise ``affine Ebene`` deutet an, dass die Ebene selbst auch als affiner Raum betrachtet werden kann.

  2. Aus der Lösung des LGS können wir den Normalenvektor $ \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)$ der Ebene $ \operatorname{Fix}(\sigma)$ leicht ablesen. Wir müssen also zeigen, dass die Gerade durch $ P$ und $ \sigma(P)$ in die selbe Richtung verläuft. Wir erhalten:

    $\displaystyle \sigma(P)-P$ $\displaystyle =A\vec{p}+s-\vec{p}=\frac13\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & ... ...n{pmatrix}2 \\ 2\\ -2\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}p_1\\ p_2\\ p_3\end{pmatrix}$    
      $\displaystyle =\frac23\left(-p_1-p_2+p_3+\frac{1}{3}\right)\begin{pmatrix}1 \\ 1\\ -1\end{pmatrix}$    

    Also ist die Gerade senkrecht zur Ebene $ \operatorname{Fix}(\sigma)$.

(Ackermann/Poppitz)
[Zurück zur Aufgabe]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006