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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1322: Stetigkeit

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Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit.
$ \textbf{ a)}\, f(x,y)=\left(\begin{array}{c} \log(1+x^2+y^2)\\ e^x \sin y \end{array}\right)$                  $ \textbf{ b)}\, f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x y}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0)\\ \quad 0, & (x,y)= (0,0) \end{cases}$
$ \textbf{ c)}\, f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{\sin(x y)}{xy}, & xy \neq 0\\ \quad 1, & xy = 0\,. \end{cases}$                  $ \textbf{ d)}\, f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x y^2}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0)\\ \quad 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}$

1.
Es seien

\begin{displaymath} \begin{array}{l} h_1: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\; , \;\; ... ... \mathbb{R}\; , \;\; (x,y)^\mathrm{t} \mapsto y\; . \end{array}\end{displaymath}

Es ist $ f = (\log{} \circ h_1, (\exp{} \circ h_2) \cdot (\sin{} \circ h_3))^\mathrm{t}$ . Damit ist jede Komponente von $ f$ als Produkt von Kompositionen stetiger Funktionen stetig. Die Funktion $ f$ ist demzufolge stetig.

2.
Die Funktion $ f$ ist nicht stetig. Betrachte nämlich z.B. die Folge $ (a_k)_{k\ge 1}$ , definiert durch

$\displaystyle a_k \; =\; (x_k, y_k)^\mathrm{t} \; :=\; \left(\frac{1}{k}\;,\;\frac{1}{k}\right)^\mathrm{t} \; . $

Es konvergiert $ (a_k)_{k\ge 1}$ gegen $ (0,0)^\mathrm{t}$ . Andererseits ist $ f(a_k) = 1/2$ für alle $ k\ge 1$ und damit ist auch $ \lim\limits_{k \to \infty} f(a_k) = 1/2\neq 0 = f(0,0)$ . Daher ist die Funktion $ f$ nicht stetig.

Alternativ kann man die Abbildung $ h_1: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2, \; x \mapsto (x,x)^\mathrm{t}$ betrachten. Wäre $ f$ stetig, so wäre auch die Abbildung $ f \circ h_1$ stetig. Es gilt jedoch

$\displaystyle (f \circ h_1)(x) = \begin{cases} 1/2, & x \neq 0\\ 0, & x = 0. \end{cases}$

Da diese Funktion unstetig ist, kann auch $ f$ nicht stetig gewesen sein.

3.
Die Funktion $ f \vert _{\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)^\mathrm{t}\}}$ ist stetig, da sie auf diesem Definitionsbereich Quotient von Polynomen ist. Um die Funktion $ f$ auf Stetigkeit zu untersuchen, genügt es also, den Ursprung zu betrachten.

Es sei $ (x_k, y_k)^\mathrm{t}$ eine Folge, die gegen den Punkt $ (0,0)^\mathrm{t}$ konvergiert. Dann gilt $ x_k \to 0, y_k \to 0$ für $ k \to \infty$ , und daher

$\displaystyle 0 \leq \vert f(x_k,y_k) \vert \leq \left\vert \dfrac{x_ky_k^2}{x... ...\leq \dfrac{\vert x_k\vert (x_k^2+y_k^2)}{x_k^2+y_k^2} = \vert x_k\vert \to 0. $

Also gilt $ \lim\limits_{k \to \infty} f(x_k,y_k) = 0$ für alle Folgen $ (x_k, y_k)^\mathrm{t}$ , die gegen $ (0,0)^\mathrm{t}$ konvergieren. Daher ist $ f$ stetig im Punkt $ (0,0)^\mathrm{t}$ und folglich insgesamt stetig.

4.
Es seien

\begin{displaymath} \begin{array}{l} h_1:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \; x \mapst... ...^2 \to \mathbb{R},\; (x,y)^\mathrm{t} \mapsto xy. \end{array} \end{displaymath}

Die Funktion $ h_1$ ist stetig, wie aus der eindimensionalen Analysis bekannt ist (es sei etwa an die Potenzreihenentwicklung der Sinusfunktion erinnert). Die Funktion $ h_2$ ist stetig als Polynom. Daher ist auch $ f = h_1 \circ h_2$ stetig.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)
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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006