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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1407: Eigenschaften der Gammafunktion

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Die Gamma-Funktion hat die Integraldarstellung

$\displaystyle \Gamma(\alpha) = \int\limits_{0}^{\infty} e^{-t}\, t^{\alpha-1}\, d t\,$.

a)
Zeigen Sie mit partieller Integration die Funktionalgleichung $ \Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha)$.
b)
Berechnen Sie $ \Gamma(1)$.
c)
Leiten Sie damit für $ n\in\mathbb{N}$ die Identität $ \Gamma(n+1)=n!$ her.
a)
Für $ \alpha\in\mathbb{R}^+$ folgt mit partieller Integration:

$\displaystyle \operatorname{\Gamma}(\alpha+1) =\int\limits_{0+0}^{+\infty}e^{-t... ...pha t^{\alpha-1}e^{-t}\,\operatorname{d}t =\alpha\operatorname{\Gamma}(\alpha) $

b)
Für $ \alpha=1$ erhält man

$\displaystyle \operatorname{\Gamma}(1)=\int\limits_{0}^{+\infty}e^{-t}\,\operatorname{d}t =\lim\limits_{s\to+\infty}\left[-e^{-t}\right]_{t=0}^s=1\,$.

c)
Die Behauptung $ \operatorname{\Gamma}(n+1)=n!$ ist für $ n=1$ wahr, denn in b) wurde gezeigt:

$\displaystyle \operatorname{\Gamma}(1+1)=1=1! $

Sei nun für $ n\in\mathbb{N}$ vorausgesetzt, dass $ \operatorname{\Gamma}(n+1)=n!$ gilt. Damit und mit a) ergibt sich:

$\displaystyle \operatorname{\Gamma}(n+1+1)=(n+1)\operatorname{\Gamma}(n+1)=(n+1)\cdot n!=(n+1)! $

womit die Behauptung durch vollständige Induktion bewiesen ist.
(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006