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Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Lösung zu

Aufgabe 1415: Jacobi-Matrizen von Funktionen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Bestimmen Sie für die Funktionen

$\displaystyle f(x,y,z)=\left( \begin{array}{c} \ln(x)+y\\ yz \end{array}\right), \qquad g(s,t)=\left( \begin{array}{c} s^2+t^2\\ te^s \end{array}\right) $

und für die Komposition $ g\circ f$ jeweils die Jacobi-Matrix.
a)
Die Jacobi-Matrizen sind

\begin{displaymath} \mathrm{J}f(x,y,z)=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{x}&1&0... ...{array}{cc} 2s & 2t\\ te^s & e^s \end{array}\right)\,\text{.} \end{displaymath}

b)
Mit der Kettenregel erhält man daraus

$\displaystyle \mathrm{J}(g\circ f)(x,y,z)$ $\displaystyle =\mathrm{J}g(f(x,y,z))\,\mathrm{J}f(x,y,z)= \left( \begin{array}{... ...ray}\right)\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{x}&1&0\\ 0&z&y \end{array}\right)$    
  $\displaystyle =\left( \begin{array}{ccc} 2\frac{\ln(x)+y}{x} & 2\ln(x)+2y+2yz^2 & 2y^2z\\ yze^y & x(y+1)ze^y & xye^y \end{array}\right)\,$.    

(Ackermann/Poppitz)
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  automatisch erstellt am 25.  8. 2006