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Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen |
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Seien
und
Vektorräume über dem Körper
.
Begriff.
Eine Abbildung
heißt linear, falls
für alle
Ist
und
, und ist
eine Matrix, so ist zum Beispiel die Abbildung
linear.
Eine lineare Abbildung
heißt auch Endomorphismus von
.
Die Verkettung linearer Abbildungen ist wieder eine lineare Abbildung.
Ist
eine lineare Abbildung, so ist
ein Unterraum von
ein Unterraum von
Die lineare Abbildung
ist injektiv genau dann, wenn
.
Ist die lineare Abbildung
bijektiv, so ist auch die Umkehrabbildung
wieder eine
lineare Abbildung.
Eine bijektive lineare Abbildung
heißt auch Isomorphismus. Ein isomorpher Endomorphismus heißt auch
Automorphismus.
So etwa ist die identische Abbildung
ein Isomorphismus.
Kriterien.
Sei
eine lineare Abbildung. Sei
eine Basis von
.
Die lineare Abbildung
ist injektiv genau dann, wenn
linear unabhängig in
ist.
Die lineare Abbildung
ist surjektiv genau dann, wenn
erzeugend in
ist.
Die lineare Abbildung
ist bijektiv genau dann, wenn
eine Basis von
ist.
Dimensionsformel.
Sei
eine lineare Abbildung. Dann gilt die Dimensionsformel
Matrixmultiplikation.
Seien
und
Matrizen.
Das Matrixprodukt von
und
ist definiert als
Der Eintrag an der Position
Ist
, so setzen wir
,
,
, ...,
.
Vorsicht! Es gilt i.a.
für
.
Darstellungsmatrix.
Sei
eine lineare Abbildung.
Sei
eine Basis von
, und sei
eine Basis von
.
Dann gibt es eindeutig bestimmte Koeffizienten
in
so, daß
für alle
heißt die Darstellungsmatrix von
Kurz, die Spalten der Darstellungsmatrix sind die Koeffizienten der Bilder der Basisvektoren von
bezüglich
der Basis von
.
Ist
ein weiterer Vektorraum über
mit Basis
, und ist
eine lineare Abbildung, so ist
d.h. die Darstellungsmatrix der Verkettung ist gleich dem Matrixprodukt der Darstellungsmatrizen.
Ist
,
, sind
bzw.
die Standardbasen des
bzw.
, und ist
,
, wobei
, so ist
d.h. die Multiplikation mit
Rang einer Matrix.
Sei
eine Matrix, und seien
die Spaltenvektoren von
. Dann
ist der Rang von
definiert durch
Es ist
d.h.
Zur Berechnung des Rangs bringe man die Matrix
in Zeilenstufenform. Der Rang ist dann gleich der Anzahl der Nichtnullzeilen
in der Zeilenstufenform.
Seien
und
Matrizen. Dann gilt
Ist
eine lineare Abbildung, und sind
bzw.
Basen von
bzw.
, so gilt
Invertierbarkeit.
Sei
eine quadratische Matrix, d.h. ihre Spaltenzahl ist gleich ihrer Zeilenzahl.
heißt invertierbar oder regulär, falls es eine Matrix
gibt so, daß
In diesem Falle ist die Matrix
Die Matrix
heißt singulär, falls sie nicht regulär ist.
Für eine quadratische Matrix
sind folgende Aussagen äquivalent.
Seien
und
Vektorräume derselben Dimension
, seien
bzw.
Basen von
bzw.
, und sei
eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
Berechnung der Inversen.
Sei
eine quadratische Matrix.
Um
auf Invertierbarkeit zu überprüfen und gegebenenfalls die Inverse von
zu berechnen, wende man den Gaußschen Algorithmus
auf die folgende Matrix an.
Hierbei kann
in die Einheitsmatrix überführt werden genau dann, wenn
invertierbar ist. In diesem Falle entsteht in der rechten Hälfte
aus
die Inverse
von
.
siehe auch:
automatisch erstellt am 22. 8. 2006 |