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Parsevalsche Gleichungen

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Es sei $ p > 0$ und $ f,\, g\,:\,\mathbb{R}\,\to\,\mathbb{R}$ zwei $ p$ -periodische Funktionen, für die in $ [-p,p]$ nur endlich viele Unstetigkeitsstellen liegen, und für die in jeder solchen Unstetigkeitsstelle der links- und der rechtsseitige Grenzwert existieren.

Dann gilt die Parsevalsche Skalarproduktgleichung

$\displaystyle \sum_{k = -\infty}^{\infty} c_k(f) \overline{c_k(g)} \;=\; \frac{1}{p}\int_0^p f(t)\overline{g(t)}\,\mathrm{d}t\; . $

Insbesondere gilt die Parsevalsche Normgleichung

$\displaystyle \sum_{k = -\infty}^{\infty} \vert c_k(f)\vert^2 \;=\; \frac{1}{p}\int_0^p \vert f(t)\vert^2\,\mathrm{d}t\; . $

Speziell kann eine Folge $ (c_k)_{k\in\mathbb{Z}}$ nur als Koeffizientenfolge einer Fourierreihe einer wie eingangs beschriebenen Funktion auftreten, wenn die Quadratsumme $ \displaystyle\sum_{k = -\infty}^\infty \vert c_k(f)\vert^2$ konvergiert.

Darüberhinaus liefert jede Fourierentwicklung als ,,Nebenprodukt``noch den Wert von $ \displaystyle\sum_{k = -\infty}^\infty \vert c_k(f)\vert^2$ . Manchmal ist dies unser einziger Weg zur Auswertung der entstandenen Reihe. Z.B. wird sich $ \displaystyle\sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}\,$ ergeben.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

Beispiele:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 11.  8. 2006