Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Differentiation - Kurvendiskussion

Asymptoten


[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

Eine lineare Funktion $ p(x) = ax + b$ ist eine Asymptote von $ f$ , wenn

$\displaystyle f(x)-p(x) \to 0$   für$\displaystyle \quad x\to\infty\ $   oder$\displaystyle \ x\to-\infty\,.
$

\includegraphics[width=8.4cm]{Asymptote.eps}

Wie in der Abbildung illustriert, beschreibt eine Asymptote das Verhalten der Funktion $ f$ für große $ x$ .


Um die Asymptoten der Funktion

$\displaystyle f(x) = \frac{x+1}{2+e^{x}}
$

zu bestimmen werden die Grenzwerte $ x \rightarrow \pm\,\infty$ separat betrachtet.

\includegraphics[width=8.4cm]{bsp_asymptote_2}

Für $ x \rightarrow \infty$ ist

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,f(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}\,\frac{(x+1)\cdot e^{-x}}{2\cdot e^{-x} + 1}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{0}{0 + 1} = 0\,.$  

Damit ist die x-Achse Asymptote.

Für $ x \rightarrow -\infty$ strebt $ e^{x}$ gegen 0 und

$\displaystyle p(x) = \frac{x+1}{2}
$

ist Asymptote.
(Autoren: Höllig/Hörner)

[vorangehende Seite] [nachfolgende Seite] [Gesamtverzeichnis][Seitenübersicht]

  automatisch erstellt am 5.1.2017