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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Funktionen einer Veränderlichen - Polynome

Visualisierung komplexer Funktionen in Matlab

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Um komplexe Funktionen in MATLAB zu visualisieren, kann mit meshgrid ein Gitter von Auswertungspunkten erzeugt werden, das mit complex zu einem Gitter komplexer Zahlen umgewandelt wird.

Mit surf können nun Real- und Imaginärteil einzeln als Flächen über der komplexen Zahlenebene gezeichnet werden.

Für die Auswertung des Polynoms $ z^3-1$

»[X1,X2]=meshgrid(linspace(-1.5,1.5));Z=complex(X1,X2);

»P=Z.^3-1;

liefern die Zeichenbefehle

»surf(X1,X2,real(P));hold on;

»surf(X1,X2,imag(P));

»surf(X1,X2,zeros(size(X1)));

die Abbildung

\includegraphics[clip,width=.7\textwidth]{komplex_polynom1}

(Bei den Flächen wurden noch die Parameter 'facealpha',0.8 und 'shading','interp' gesetzt.)

Möchte man eine komplexe Funktion mit nur einem Graph darstellen, so kann man beispielsweise den Graph von $ \operatorname{Re}\, p$ gemäß den Werten von $ \operatorname{Im}\, p$ einfärben. Dazu verwendet man den Befehl

»surf(X1,X2,real(P),imag(P));.

\includegraphics[clip,width=.7\textwidth]{komplexes_Polynom_Bild3}

Die Koordinaten können auch permutiert werden. So wurden für das folgende Bild des Polynoms $ p(z)=1+z+z^2/2+z^3/6$ die $ x_1$- und $ x_2$-Koordinate für Real- und Imaginärteil der Funktionswerte, die $ x_3$-Koordinate für den Realteil der Urbilder und die Färbung für den Imaginärteil der Urbilder verwendet.

\includegraphics[clip, bb=142 556 336 706,width=.8\moimagesize]{komplex_polynom2}

Weitere Möglichkeiten sind mit dem Befehl contour die Höhenlinien von $ \vert p\vert$, $ \operatorname{Re}\, p$ und $ \operatorname{Im}\, p$ zu zeichnen.

\includegraphics[width=.3\textwidth]{komplexes_Polynom_Bild4}         \includegraphics[width=.3\textwidth]{komplexes_Polynom_Bild5}         \includegraphics[width=.3\textwidth]{komplexes_Polynom_Bild6}

Mit dem Befehl cmplxgrid lässt sich direkt ein Punktgitter des Einheitskreises in Polarkoordinaten erzeugen. Die Abbildung zeigt für das Polynom $ p(z)=z^3-1$ die Fläche $ x_3=\mathrm{Re}(p(x_1+\mathrm{i}x_2)^{1/3})$ .

\includegraphics[width=.8\moimagesize]{komplex_polynom3}

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  automatisch erstellt am 5.1.2017