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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Funktionen einer Veränderlichen - Polynome

Nullstellen und Faktorisierung eines Polynoms

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Ein Polynom $ p$ vom Grad $ n$ besitzt, einschließlich Vielfachheiten, genau $ n$ komplexe Nullstellen $ z_k$ und lässt sich somit als Produkt der entsprechenden Linearfaktoren schreiben:

$\displaystyle p(z) = c (z-z_1)\cdots(z-z_n)\, $

mit einer Konstanten $ c$ .

Ist $ p$ reell, so treten komplexe Nullstellen in komplex konjugierten Paaren $ x_k\pm\mathrm{i} y_k$ auf. Eine reelle Faktorisierung kann also neben reellen Linearfaktoren auch quadratische Faktoren der Form

$\displaystyle (z-x_k-\mathrm{i} y_k)(z-x_k+\mathrm{i} y_k) = (z-x_k)^2 + y_k^2 $

enthalten.

Die Nullstellen eines Polynoms lassen sich für Grad 2 mit der Mitternachtsformel und für Grad 3 und 4 mit den Cardanischen Formeln explizit als algebraische Ausdrücke bestimmen. Für höhere Grade müssen i.a. numerische Verfahren verwendet werden. Ist jedoch eine Nullstelle bekannt, so kann man durch den entsprechenden Linearfaktor dividieren, $ q(z)=p(z)/(z-z_1)$ , und $ z_2, ..., z_n$ als Nullstellen des Polynoms $ q$ vom Grad $ n-1$ bestimmen.

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  automatisch erstellt am 5.1.2017