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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Funktionen einer Veränderlichen - Rationale Funktionen

Rationale Funktion

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Eine rationale Funktion $ r$ mit Zählergrad $ m$ und Nennergrad $ n$ ist der Quotient zweier Polynome:

$\displaystyle r(x) = \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m}{b_0+b_1x+\cdots+b_nx^n} \,. $

Diese Darstellung bezeichnet man als irreduzibel, wenn $ p$ und $ q$ keinen gemeinsamen Linearfaktor besitzen. Die Nullstellen des Nenners sind dann Definitionslücken der rationalen Funktion $ r$ und werden als Polstellen bezeichnet. Ihre Ordnung entspricht der Vielfachheit der Nullstelle.

Die Variable $ x$ und die Koeffizienten $ a_k$, $ b_k$ können reell oder komplex sein. Entsprechend spricht man von einer reellen oder komplexen rationalen Funktion.

Die Funktion

$\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{(x+1)(x-1)^2}$

besitzt einen einfachen Pol bei $ x=-1$ und einen doppelten Pol bei $ x=1$.

\includegraphics[width=7.4cm]{xxxx_1+x_1-x_1-x.eps}

Man erkennt aus der Abbildung, dass $ f$ bei einem einfachen Pol das Vorzeichen wechselt und sich das Vorzeichen bei einem doppelten Pol nicht ändert.

(Autoren: App/Höllig )

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  automatisch erstellt am 5.1.2017