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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Funktionen einer Veränderlichen - Polynome

Interpolation mit Polynomen

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Funktionswerte $ f_k$ an $ n+1$ paarweise verschiedenen Stützstellen $ x_0,\ldots,x_n$ können eindeutig durch ein Polynom $ p$ vom Grad $ \le n$ interpoliert werden:

$\displaystyle p(x_k) = f_k,\quad k=0,\ldots,n \,. $

Das Interpolationspolynom lässt sich in der Lagrange-Form

$\displaystyle p(x) = \sum_{k=0}^n f_k q_k(x),\quad q_k(x) = \prod_{j\ne k} \frac{x-x_j}{x_k-x_j}, $

darstellen.

\includegraphics[width=.45\linewidth]{interpolation_Bild}

Die Polynome $ q_k$ werden als Lagrange-Polynome bezeichnet. Sie haben im Punkt $ x_k$ den Wert $ 1$ und verschwinden an allen anderen Punkten $ x_j$:

$\displaystyle q_{k}(x_{j})=\delta_{k,j}$

mit $ \delta$ dem Kronecker-Symbol.

Für die Lagrange-Polynome gilt

$\displaystyle q_k(x_j) = \delta_{j,k} \,, $

und damit folgt

$\displaystyle p(x_j) = \sum_k f_k \delta_{j,k} = f_j \,. $

Die Interpolationsbedingungen sind also erfüllt.

Um die Eindeutigkeit zu zeigen, nimmt man an, dass ein weiteres Interpolationspolynom $ \tilde{p}$ existiert, und betrachtet die Differenz

$\displaystyle p - \tilde p\,. $

Diese hat (mindestens) $ n+1$ Nullstellen,

$\displaystyle (p - \tilde p)(x_k) = 0,\quad k=0,\ldots,n \,, $

ist aber (höchstens) vom Grad $ n$. Damit muss die Differenz identisch null sein, die Polynome unterscheiden sich also nicht.

Zur genauen grafischen Darstellung von Funktionen aus Werten $ f_k$ an äquidistanten Stützstellen $ x_k=kh$ kann kubische Interpolation verwendet werden. Dabei werden Zwischenwerte an den Stützstellen $ x_{k+1/2}=(k+1/2)h$ durch

$\displaystyle f_{k+1/2} = (-f_{k-1}+9f_k+9f_{k+1}-f_{k+2})/16 $

approximiert. Dieser Prozess wird wiederholt, bis genügend Daten generiert wurden.

Die Gewichte

$\displaystyle -\frac{1}{16},\, \frac{9}{16},\, \frac{9}{16},\, -\frac{1}{16} $

der $ 4$-Punkt-Formel sind die Werte der Lagrange-Polynome an der Stützstelle $ x_{k+1/2}$. Beispielsweise ist

$\displaystyle -\frac{1}{16} = \left( \frac{x-kh}{(k-1)h-kh} \frac{x-(k+1)h}... ...+1)h} \frac{x-(k+2)h}{(k-1)h-(k+2)h} \right)_{\Big\vert x = (k+1/2)h} \,. $

Aufgrund der Symmetrie und da die Koeffizienten zu eins summieren (Interpolation konstanter Daten), ergeben sich die anderen Koeffizienten ohne Rechnung.

\includegraphics[width=.45\textwidth]{KubischeInterpolation_Bild1} \includegraphics[width=.45\textwidth]{KubischeInterpolation_Bild2}
\includegraphics[width=.45\textwidth]{KubischeInterpolation_Bild3} \includegraphics[width=.45\textwidth]{KubischeInterpolation_Bild4}

Die Abbildung zeigt die Ausgangsdaten und durch dreimalige Anwendung der $ 4$-Punkt-Interpolation erzeugte Approximationen einer Sinusfunktion. Zwar wirkt die unten links gezeigte Grenzfunktion glatt. Jedoch ist nur die erste Ableitung stetig.

\includegraphics[width=.4\textwidth]{fourpoint_lim}          \includegraphics[width=.4\textwidth]{fourpoint_diff}

Die rechte Grafik zeigt die durch Dividierte Differenzen angenäherte zweite Ableitung nach achtmaliger Interpolation. Man erkennt den fraktalen Charakter des Graphen.

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  automatisch erstellt am 5.1.2017