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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Funktionen einer Veränderlichen - Rationale Funktionen

Reelle Partialbruchzerlegung

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Eine reelle rationale Funktion $ r$ mit reellen Polstellen $ x_j$ und komplex-konjugierten Polstellen $ u_k\pm$   i$ v_k$ der Vielfachheit $ m_j$ bzw. $ n_k$

$\displaystyle r=\frac{p}{q}, \quad q(x)=\prod\limits_j(x-x_j)^{m_j}\prod\limits_k((x-u_k)^2+v_k^2)^{n_k}$

läßt sich in der Form

$\displaystyle r(x) = f(x) + \sum_j\sum_{\nu\le m_j} \frac{a_{j,\nu}}{(x-x_j)^\n... ...m_k\sum_{\mu\le n_k} \frac{b_{k,\mu}(x-u_k)+c_{k,\mu}} {((x-u_k)^2+v_k^2)^\mu} $

zerlegen, mit einem Polynom $ f$ vom Grad $ d=\operatorname{Grad}\,p-\operatorname{Grad}\,q$ ($ f=0$, falls $ d<0$). Die Zahl der Summanden pro Polstelle entspricht der Vielfachheit. Insbesondere gilt für einfache Polstellen

$\displaystyle r(x) = f(x) + \sum_j\frac{a_j}{x-x_j} + \sum_k\frac{b_k(x-u_k)+c_k}{(x-u_k)^2+v_k^2}\,. $

Das Polynom $ f$ kann durch Polynomdivision bestimmt werden

$\displaystyle p=fq+g, \,\,\,\, \operatorname{Grad}\,g<\operatorname{Grad}\,q,$

d.h. $ g$ ist der Rest bei Division von $ p$ durch $ q$. Die Koeffizienten lassen sich dann durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation mit dem Nennerpolynom berechnen.

Die reelle Partialbruchzerlegung läßt sich auch aus der komplexen Form gewinnen, indem man komplex-konjugierte Terme zusammenfasst.

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  automatisch erstellt am 5.1.2017