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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Konvergenz und Grenzwerte - Folgen

Limes Inferior und Limes Superior

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Für jede Folge $ (a_n)$ existieren, gegebenenfalls im uneigentlichen Sinn, die Grenzwerte
$\displaystyle \operatorname*{\underline{lim}}_{n\rightarrow\infty} a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\underline{a_n}\,,\ \underline{a_n} = \inf_{k\geq n} a_k$  
$\displaystyle \operatorname*{\overline{lim}}_{n\rightarrow\infty} a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\overline{a_n}\,,\ \overline{a_n} = \sup_{k\geq n} a_k$  

\includegraphics[clip,width=0.5\linewidth,height=.4\linewidth]{a_limes_sup_inf.eps}

Wie in der Abbildung illustriert ist, wird die Folge $ (a_n)$ durch die monotonen Folgen $ (\underline{a_n})$ und $ (\overline{a_n})$ eingeschlossen:

$\displaystyle \underline{a_n} \leq a_n \leq \overline{a_n}. $

Stimmen Limes Inferior und Limes Superior überein, so konvergiert die Folge $ (a_n)$ und

$\displaystyle \operatorname*{\underline{lim}}_{n\rightarrow\infty} a_n = \oper... ...tarrow\infty} a_n = \operatorname*{\overline{lim}}_{n\rightarrow\infty} a_n\,. $

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  automatisch erstellt am 5.1.2017