Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen-Konvergenz und Grenzwerte-Reihen-Harmonische Reihe

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	Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Konvergenz und Grenzwerte - Reihen
	Harmonische Reihe

Die harmonische Reihe:

$\displaystyle s = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\,,$

divergiert bzw. hat den uneigentlichen Grenzwert $s = \infty$ .

Allgemeiner ist die Reihe

$\displaystyle s_{\alpha} = \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-\alpha}$

für $\alpha \leq 1$ divergent und für $\alpha > 1$ konvergent. Einige spezielle Werte sind

$\displaystyle s_2$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \hdots = \dfrac{\pi^2}{6}\,,$
$\displaystyle s_4$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-4} = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \hdots = \dfrac{\pi^4}{90}\,,$
$\displaystyle s_6$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\,k^{-6} = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \hdots= \dfrac{\pi^6}{945}\,.$

(Autoren: App/Höllig )

automatisch erstellt am 5.1.2017