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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Konvergenz und Grenzwerte - Reihen

Quotientenkriterium

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Ist $ a_n \neq 0$ für $ n>n_0$ und existiert eine Zahl $ q \in (0,1)$ mit

$\displaystyle \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert\leq q\,,\quad n>n_0\,, $

so ist $ \sum{a_n}$ absolut konvergent. Ist hingegen

$\displaystyle \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert\geq 1\,,\quad n>n_0\,, $

so ist $ \sum{a_n}$ divergent.

Das hinreichende Kriterium für Konvergenz lässt sich auch in der äquivalenten Form

$\displaystyle \operatorname*{\overline{lim}}_{n\rightarrow\infty} \left\vert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\vert < 1 $

schreiben.

Man beachte, dass die hinreichende Konvergenz-Bedingung restriktiver als die Ungleichung

$\displaystyle \vert a_{n+1} \vert < \vert a_n \vert\,,\quad n>n_0\,, $

ist, aufgrund derer keine Aussage möglich ist.

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  automatisch erstellt am 5.1.2017