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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Konvergenz und Grenzwerte - Stetigkeit

Einseitige Stetigkeit

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Analog zur Stetigkeit definiert man links- bzw. rechtsseitige Stetigkeit

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow a-}f(x)=f^-(a)\,, \qquad \lim_{x\rightarrow a+}f(x)=f^+(a),$

indem man nur Argumente $ x$ auf der entsprechenden Seite von $ a$ betrachtet.

\includegraphics[width=0.6\linewidth]{Sprungstellen.eps}

Ist an einer Sprungstelle von $ f$ ein Funktionswert definiert, so wird dieser im Allgemeinen durch einen fett gezeichneten Punkt im Graphen hervorgehoben, um anzudeuten, ob er mit dem links- oder rechtsseitigen Grenzwert übereinstimmt.

Die Funktion

$\displaystyle f(x)=x/\vert x\vert$

ist in allen Punkten bis auf die Definitionslücke $ x=0$ stetig.

\includegraphics[height=3.3cm]{sign_ls.eps}   \includegraphics[height=3.3cm]{sign_2.eps}   \includegraphics[height=3.3cm]{sign_rs.eps}

Setzt man $ f(0)=-1$ so wird die Funktion linksseitig und mit $ f(0)=1$ rechtsseitig stetig bei 0 fortgesetzt. Für $ f(0)=0$ erhält man die Signum-Funktion

$\displaystyle f(x)=\operatorname{sign}(x),$

die bei 0 weder rechts- noch linksseitig stetig ist.

(Autoren: App/Höllig )
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  automatisch erstellt am 5.1.2017