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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Konvergenz und Grenzwerte - Stetigkeit

Zwischenwertsatz

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Eine stetige Funktion $ f$ nimmt auf einem abgeschlossenen Intervall $ [a,b]$ jeden Wert zwischen $ f(a)$ und $ f(b)$ an.

\includegraphics[width=.6\linewidth]{Zwischenwertsatz.eps}
Bildet eine Funktion $ f$ das Intervall $ [a,b]$ stetig in $ [a,b]$ ab, so existiert ein $ x_\star$ mit

$\displaystyle x_\star =f(x_\star).$

\includegraphics[width=.6\linewidth]{Fixpunktsatz.eps}

Für die stetige Funktion

$\displaystyle g(x)=f(x) -x $

gilt $ g(a) \geq 0$ und $ g(b)\leq 0$. Mit dem Zwischenwertsatz folgt die Existenz einer Nullstelle $ x_\star \in \left[a,b \right]$:

$\displaystyle g(x_\star) = 0 \; \Leftrightarrow \; f\left(x_\star \right)=x_\star $

d.h. die Existenz eines Fixpunktes $ x_\star$ von $ f$.
(Autoren: Höllig/Kreitz )
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  automatisch erstellt am 5.1.2017