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Mathematik-Online-Kurs: Analysis einer Veränderlichen - Konvergenz und Grenzwerte - Folgen und Reihen von Funktionen

Reihendarstellung der Exponentialfunktion

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Die Exponentialfunktion kann als Grenzwert einer Reihe dargestellt werden:

$\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} x^n\ , x\in\mathbb{R}\,, $

mit gleichmäßiger Konvergenz jedem Intervall $ [-a,a]$ .

(Inhalt vorübergehend nicht verfügbar)
Die Exponentialfunktion beschreibt das Wachstum vieler biologischer Prozesse. Beispielsweise ist bei einem einfachen Bevölkerungsmodell die Geburtenzahl proportional zur aktuellen Bevölkerungszahl $ p(t)$ zum Zeitpunkt $ t$ , d.h.

$\displaystyle p(t+ \Delta t) \approx p(t) + \Delta t (\lambda p(t))\,. $

Für $ \Delta t \rightarrow 0$ wird dieses Wachstumsgesetz durch

$\displaystyle p(t) = c e^{\lambda t}\ , \qquad c = p(0)\ , $

modelliert.
Jahr Bevölkerungszahl in Mio. Rate
1950 2555 1.76 %
1955 2779 1.87 %
1960 3039 2.02 %
1965 3345 2.16 %
1970 3707 2.05 %
1975 4088 1.80 %
1980 4456 1.79 %
1985 4854 1.77 %
1990 5283 1.54 %
1995 5690 1.37 %
2000 6080 1.25 %
  \includegraphics[height=.55\moimageheight]{bevoelkerungswachstum}
Die Tabelle (links) zeigt die Weltbevölkerung $ p(t)$ sowie die jährlichen Zuwachsraten (geschätzte Werte). Die durchschnittliche jährliche Zuwachsrate in den Jahren 1950-2000 betrug 1.81 %. Bei konstantem durchschnittlichem exponentiellem Wachstum ab 1950

$\displaystyle p(t) = 2555078074 e^{0.0181 (t-1950)} $

würde die Weltbevölkerung im Jahr 2050 16 Milliarden zählen (gepunktete Kurve).

(Autoren: Höllig/Hörner)
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  automatisch erstellt am 5.1.2017