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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Normalformen - Singulärwertzerlegung

Singulärwert-Zerlegung

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Zu jeder komplexen $ (m\times n)$-Matrix $ A$ existieren unitäre Matrizen $ U$ und $ V$ mit

$\displaystyle U^* A V = S = \left(\begin{array}{ccc} s_1 & & 0 \\ & s_2 & \\ 0 & & \ddots \end{array}\right). $

Die singulären Werte

$\displaystyle s_1\ge s_2\ge\cdots\ge s_k>s_{k+1}=\cdots=0 $

sind die Wurzeln der Eigenwerte von $ A^* A$ und $ k$ ist der Rang von $ A$. Die Spalten $ u_j$ von $ U$ und $ v_j$ von $ V$ bilden orthonormale Basen aus Eigenvektoren von $ AA^*$ bzw. $ A^* A$, und es gilt

$\displaystyle Av_j = s_j u_j, $

für $ 1\leq j\leq k$.

Mit Hilfe der Singulärwertzerlegung lässt sich die lineare Abbildung $ x\mapsto y=Ax$ in der Form

$\displaystyle y = \sum_{i=1}^k s_i (v_i^* x) u_i $

darstellen. Daraus folgt insbesondere, dass

$\displaystyle \operatorname{Kern}A = \operatorname{span} \{v_{k+1},\ldots,v_n\},\quad \operatorname{Bild}A = \operatorname{span} \{u_1,\ldots,u_k\} \,. $

Schließlich ist $ \Vert A\Vert _2 = s_1$ und $ \Vert A\Vert^2_F = \sum_{j,k}\vert a_{j,k}\vert^2 = s_1^2+\cdots+s_k^2$.

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  automatisch erstellt am 14.6.2012