Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Analytische Geometrie-Quadriken-Quadratische Form

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Analytische Geometrie - Quadriken
	Quadratische Form

Für eine reelle symmetrische Matrix

bezeichnet man

$\displaystyle \alpha (x) =x^{\operatorname t}A x$

als quadratische Form.

Je nach Vorzeichen der Eigenwerte von unterscheidet man zwischen drei Typen:

elliptisch: Alle Eigenwerte haben das gleiche Vorzeichen.
parabolisch: Mindestens ein Eigenwert ist Null und die anderen Eigenwerte haben das gleiche Vorzeichen.
hyperbolisch: Es gibt Eigenwerte mit verschiedenem Vorzeichen.

Die Symmetrie von

muss nicht vorausgesetzt werden. Für eine allgemeine Matrix lässt sich die quadratische Form als

$\displaystyle x^{\operatorname t}A x = \sum_{j,k} x_j a_{j,k} x_k = \sum_{j} a_{j,j} x_j^2 + \sum_{j<k} (a_{j,k}+a_{k,j}) x_jx_k$

schreiben. Man kann also jeweils zwei Terme zusammenfassen und die quadratische Form symmetrisieren:

$\displaystyle x^{\operatorname t}A x = \frac{1}{2} x^{\operatorname t}(A + A^{\operatorname t}) x \,.$

Quadratische Formen treten beispielsweise als die ersten Terme der Taylor-Entwicklung einer skalaren Funktion auf:

$\displaystyle f(x) = f(0) + \operatorname{grad}f(0)^{\operatorname t}\,x + \frac{1}{2} x^{\operatorname t}(\operatorname{H}f(0))\,x \,.$

In diesem Fall ist $\operatorname{H}f$ die Hesse-Matrix der zweiten partiellen Ableitungen, die aufgrund der Vertauschbarkeit symmetrisch ist.

Die symmetrische Matrix

$\begin{displaymath} A=\left( \begin{array}{cc} 1+\lambda&1-\lambda\\ 1-\lambda&1+\lambda \end{array}\right) \end{displaymath}$

besitzt die Eigenwerte

und $2\lambda$ .

Die quadratische Form

$\displaystyle \alpha (x)=x^{\operatorname t}A x$

ist also elliptisch für $\lambda > 0$ , parabolisch für $\lambda=0$ und hyperbolisch für $\lambda <0$ .

automatisch erstellt am 14.6.2012