Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra-Grundlegende Strukturen-Skalarprodukt und Norm-Skalarprodukt

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	Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Grundlegende Strukturen - Skalarprodukt und Norm
	Skalarprodukt

Ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum

ist eine Abbildung

$\displaystyle \langle\cdot,\cdot\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{C}$

mit folgenden Eigenschaften:

Positivität:

$\displaystyle \langle v,v \rangle > 0$ für $\displaystyle v \ne 0$
Schiefsymmetrie:

$\displaystyle \langle u,v \rangle = \overline{\langle v,u \rangle}$
Linearität:

$\displaystyle \langle \lambda u+ \varrho v,w \rangle = \lambda \langle u,w \rangle + \varrho \langle v,w \rangle$

Dabei sind $u,v,w \in V$ und $\lambda, \varrho \in \mathbb{C}$ beliebige Vektoren bzw. Skalare.

Aufgrund der Schiefsymmetrie ist ein komplexes Skalarprodukt bzgl. der zweiten Variablen nicht linear:

$\displaystyle \langle u, \lambda v+ \varrho w \rangle = \overline{\lambda} \langle u,v \rangle + \overline{\varrho} \langle u,w \rangle\,.$

Lediglich für reelle Skalare ist die komplexe Konjugation ohne Bedeutung.

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automatisch erstellt am 14.6.2012