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Mathematik-Online-Kurs: Lineare Algebra - Matrizen - Lineare Abbildungen

Koordinatentransformation bei Basiswechsel

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Bei einem Basiswechsel $ E\to E'$ transformieren sich die Koordinaten eines Vektors $ v$ gemäß

$\displaystyle v_E = A v_{E'}\quad \Leftrightarrow \quad v_{E'} = A^{-1} v_{E}\,, $

wobei die Spalten der quadratischen Matrix $ A$ die Koeffizienten der Basisvektoren $ e'_i$ bzgl. der Basis $ E$ enthalten:

$\displaystyle e'_i = \sum_j a_{j,i} e_j\, . $

Der Vektor $ v$ besitzt bezüglich der Basen $ E$ und $ E'$ die Darstellungen

$\displaystyle \sum_k \lambda_k e_k = v = \sum_k \lambda_k' e_k' \; . $

Mit Hilfe der Darstellung der $ e_k'$ bezüglich der Basis $ E$ folgt
$\displaystyle v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_k \lambda_k' e_k' = \sum_k \lambda_k' \left(\sum_j a_{j,k} e_j \right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_j \left(\sum_k a_{j,k} \lambda_k' \right) e_j = \sum_j \lambda_j e_j \; .$  

Durch Koordinatenvergleich erhält man $ v_E=Av_{E'}$.
(Autor: Wipper)
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  automatisch erstellt am 14.6.2012