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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher - Funktionen

Multivariate Polynome


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Ein Polynom $ p$ in $ n$ Variablen $ x_1,\ldots,x_n$ ist eine Linearkombination von Monomen:

$\displaystyle p(x) = \sum_\alpha a_\alpha x^\alpha,\quad
x^\alpha = x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n} \ ,
$

mit $ \alpha_i\in\mathbb{N}_0$. Je nach Summationsbereich unterscheidet man zwischen

Man bezeichnet ein Polynom als homogen vom Grad $ k$, wenn die Linearkombination nur Monome mit $ \sum\alpha=k$ enthält. Die Anzahl solcher homogenen Monome ist $ \binom{k+n-1}{n-1}$ Folglich ist die Dimension der Polynome vom totalen Grad $ \leq k$ gleich

$\displaystyle \binom{k+n}{n}= \sum_{k=0}^m\binom{k+n-1}{n-1} \,.
$

Die Dimension der n-variaten Polynome vom maximalen Grad $ \leq m$ ist $ (m+1)^n$.


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  automatisch erstellt am 5.1.2017