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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher - Ableitungsregeln

Multivariate Kettenregel

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Für die Hintereinanderschaltung

$\displaystyle h = g \circ f : x \mapsto y =f(x) \mapsto z = g(y)\, , $

stetig differenzierbarer Funktionen $ f:\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^\ell$ und $ g:\mathbb{R}^\ell\to \mathbb{R}^n $ gilt

$\displaystyle h^\prime(x) = g^\prime(y) f^\prime(x)\, , $

d.h. die Jacobi-Matrix von $ h$ ist das Produkt der Jacobi-Matrizen von $ f$ und $ g$. Die einzelnen Einträge von $ h^{\prime}$ ergeben sich durch Matrixmultiplikation:

$\displaystyle \frac{\partial h_i}{\partial x_k} = \sum_j \frac{\partial g_i}{\partial y_j} \frac{\partial f_j}{\partial x_k}\, . $

Insbesondere hat die Kettenregel für den Spezialfall $ m=n=1 $ (d.h. $ f$ ist eine parametrisierte Kurve und $ g$ eine skalare Funktion von $ l$ Veränderlichen) die Gestalt

$\displaystyle \frac{d\, h}{d \,x} = \left(\operatorname{grad} g\right)^{\operatorname{t}} f^{\prime}(x) \ . $

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  automatisch erstellt am 5.1.2017