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Mathematik-Online-Kurs: Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher - Ableitungsregeln

Richtungsableitung einer Funktion

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Die Ableitung einer Funktion $ f$ in Richtung eines Vektors $ v$ ist

$\displaystyle \partial_v f(x) = \lim_{h\to0} \frac{f(x+hv)-f(x)}{h}\,. $

Aufgrund der Kettenregel kann sie mit Hilfe der Jacobi-Matrix $ f^\prime$ durch

$\displaystyle \left(\frac{d}{dt} f(x+tv)\right)_{t=0} = f^\prime(x)v $

berechnet werden. Speziell ist $ \partial_{e_\nu} f$ mit $ e_\nu$ dem $ \nu$-ten Einheitsvektor die partielle Ableitung bzgl. der $ \nu$-ten Koordinate.

\includegraphics[width=.65\moimagesize]{Richtungsabl_Bild}

Für eine skalare Funktion ist

$\displaystyle \partial_{v} f=\left( \operatorname{grad}f(x)\right)^{\operatorname t}\,v\,. $

Wie in der Abbildung illustriert ist, gibt die Richtungsableitung in diesem Fall den Anstieg von $ f$ in Richtung $ v$ an. Die lokale Änderung wird maximal für $ v\parallel\operatorname{grad}\,f(x)$.

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  automatisch erstellt am 5.1.2017